У Евгения была сложная судьба. Его детство прошло без отца, который покинул семью сразу после его рождения. Мать актера прилагала все усилия, чтобы обеспечить ребенку хорошее будущее. С самого детства Евгений мечтал стать актером, но его путь к славе был далек от простого.
В 14 лет он начал работать на заводе, а через два года поступил в училище при театре Тарасова, а еще через год поступил во ВГИК. После получения диплома он начал играть в театре. В возрасте 33 лет его обратил внимание режиссер Л. Гайдай и пригласил сниматься в своих комедиях.
Первой женой актера стала балерина В. Рябцева, которая была старше его на 13 лет. Их брак длился 10 лет, но у них не было детей. Евгений вторично вступил в брак в возрасте 38 лет с женщиной, которая была младше его на 13 лет. Она подарила ему двух сыновей.
Из-за трудного детства актер стремился обеспечить своим детям лучшее. По словам его второй жены, Натальи, Евгений был замечательным отцом, который часто дарил подарки и проводил время со своей семьей, но не позволял им испортиться.
Дети Евгения росли как обычные советские дети, посещали школу и играли с друзьями. Моргунов очень хотел, чтобы они научились играть на музыкальных инструментах, но у него это не получилось.
Младший сын всегда жил на полную катушку, наслаждаясь каждым моментом жизни. Он поженился сразу после школы и вскоре стал отцом дочери. Внучка не часто общалась с дедушкой из-за его болезни, но они иногда ходили вместе в театр и на концерты.
